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15/08/2009 ANÁLISIS MATEMÁTICOS Cómo determinar la apuesta máxima. Dependencia entre riesgo y volumen. Parte 3.
por Andrew MacDonald viene de http://www.eldropbox.com/analisis.asp?n=137, cont... El efecto de la distribución variable de las apuestas Consideremos de qué manera afecta al retorno esperado de un jugador la variación en la distribución de las apuestas. Asumamos una apuesta promedio de $100.000 con la siguiente distribución: Apuesta = x Frecuencia = f x.f (x)².f 150.000 15% 22.500 3.375.000.000 125.000 20% 25.000 3.125.000.000 100.000 35% 35.000 3.500.000.000 75.000 15% 11.250 843.750.000 50.000 10% 5.000 250.000.000 25.000 5% 1.250 31.250.000 SUMA 100% 100.000 11.125.000.000 Cuando la apuesta se presenta como una frecuencia relativa, la desviación estándar se calcula de la manera siguiente, (Ö = raíz cuadrada): Desviación estándar = Ö (Σ(x².f)- (Σ(x.f))²) = Ö (11.125.000.000- 100.000²) = Ö (11.125.000.000 – 10.000.000.000) = 33.541 Uno puede asumir que la varianza del retorno esperado cuando todas las apuestas son iguales B es aproximadamente igual a V.N, donde V es una constante cercana a 1 y es relativa a la variación del juego en cuestión y N es el número de manos repartidas. Entonces la desviación estándar del retorno cuando la distribución de apuestas sea variable, si la media es B, seria igual a: = B. Ö (V.N.(1 + (Sb/B)²)) Donde Sb es la desviación estándar de la distribución variable de apuestas. Por tanto, teniendo en cuenta el límite máximo que se va a ofrecer Bmax, (el cual se usa para determinar el punto máximo de pérdida, que los accionistas pueden aceptar), el límite de apuesta representa una distribución variable de apuestas, con una media Bav (x.f), y una varianza de Sb, donde la media multiplicada por 1, más el cuadrado de la desviación estándar de la distribución de apuestas, dividido por la media, es igual a lo que nos referiremos como el límite efectivo de apuesta: Límite efectivo de apuesta = Bav(1 + ( Sb/Bav)²) Si utilizáramos este límite efectivo para calcular el mayor punto de pérdida, el resultado sería mayor que si usáramos la media de apuesta, pero también menor que si usáramos la apuesta máxima, dando por hecho que la variación de las apuestas es significativa. Este es un método muy apropiado si se pueden predecir las variaciones de las apuestas con cierta precisión, sin embargo, es vulnerable a situaciones en las que la distribución de apuestas se sesgue hacia arriba, y entonces se pueda incurrir en periodos de pérdidas mayores a los estimados. Por tanto la distribución de apuestas, debe tenerse en cuente a la hora de maximizar el turnover, y si se hace una estimación adecuada, puede que el límite máximo a ofrecer sea hasta un 50% superior al utilizado para calcular el máximo punto de pérdida al 90% de confianza. Incluso se puede elaborar un cálculo que provea un factor corrector, que indique si una distribución de apuestas es mejor o peor que otra, a la hora de afectar al riesgo. Es posible que utilicemos una apuesta de $85.000 para determinar el punto máximo de pérdida, pero que por la distribución de apuestas tengamos que tener $120.000 de máximo y aún así estar dentro de la pérdida máxima aceptable.
Casinos que no buscan mercados súper VIPS Calcular el límite de apuesta que se debe ofrecer en este caso, lleva las siguientes consideraciones: 1. Ignoremos los gastos fijos, y proyectemos todos los costes como una variable porcentual, basada en gastos fijos y variables, y representémosla en forma de comisión. 2. Calculemos la cantidad de decisiones alcanzadas diariamente, basadas en cantidad de mesas abiertas, cantidad de horas de juego y decisiones por hora, (ocupación por hora) y llevémoslo a un ratio de decisiones por hora por mesa. 3. Determinemos la duración del periodo que queremos evaluar. 1 día, semana, mes, etc. 4. Estimemos la pérdida máxima que los accionistas están dispuestos a asumir durante el periodo de tiempo en consideración. 5. Calculemos la apuesta máxima a ofrecer, de acuerdo a los criterios de arriba, a la distribución variable de las apuestas y a lo que marque el mercado. Como un ejemplo de estos casos veamos: Promedio de horas de operación de mesas = 25 mesas x 18 horas = 450 horas Promedio de decisiones hora por mesa = 50 Total de decisiones al día = 22.500 Total de decisiones a la semana = 157.500
Win neto de impuestos y gastos: W = (((N.E%)-(1.645. Ö (N.V.Sb))).(1-T%)-(N.C%)) Consideremos un escenario donde estamos dispuestos a perder como máximo $400.000 o más en una semana, una de cada 20 veces. Basados en el estudio de mercado y en la experiencia previa e histórica del casino, podemos hacer 3 planteamientos de distribución de apuesta diferentes:
Distribución variable da apuesta 1. Límite Máximo = $7.000 Apuesta = x Frecuencia = f x.f (x)².f 7.000 1.5% 105.00 735.000 2.500 2.5% 62.50 156.250 500 10.0% 50.00 25.000 100 26.0% 26.00 2.600 50 35.0% 17.50 875 20 25.0% 6.25 156 SUMA 100% 267.25 919.881
Desviación estándar = Ö (Σ(x².f)- (Σ(x.f))²) = Ö (919.881- 267.25²) = 921 Límite efectivo de apuesta = Bav(1 + ( Sb/Bav)²) = 267.( 1 + (921/267)²) = 3.442 En otras palabras, en lugar de calcular la apuesta promedio de 267,25 por N decisiones, el cálculo se va a comportar como 0,077 N manos por 3.442 de apuesta promedio. La apuesta promedio representa el 7.7% de la apuesta efectiva, por eso se multiplica N por 0.077. Si N = 157.500 decisiones semanales, entonces 0.077.N = 12.229, donde el Win neto es : W = (((N.E%)-(1.645. Ö (N.V.Sb))).(1-T%)-(N.C%)) W = ((12.229.0.0125-(1.645. Ö (12.229.0.97))).(1-13.75%)-(12.229.0.007%)) = -108,2 Dado que la apuesta ahora es asumida como de $3.442 en lugar de $267, para un intervalo al 90%, el resultado sería: Máximo punto de perdida = -108,2 x $3.442 = -$372.424
Distribución variable de apuesta 2. Límite máximo = $5.000 Apuesta = x Frecuencia = f x.f (x)².f 5.000 2.0% 100.00 500.000 2.500 3.0% 75.00 187.500 500 9.5% 47.50 23.750 100 21.5% 21.50 2.150 50 29.0% 14.50 725 20 35.0% 8.75 281 SUMA 100% 267.25 714.344
Desviación estándar = Ö (Σ(x².f)- (Σ(x.f))²) = Ö (714.344- 267.25²) = 802 Límite efectivo de apuesta = Bav(1 + ( Sb/Bav)²) = 267.( 1 + (802/267)²) = 2.673 En este caso el cálculo se va a comportar como 0,10 N manos por 2.673 de apuesta promedio. W = ((15.748.0.0125-(1.645. Ö (15.748.0.97))).(1-13.75%)-(15.748.0.007%)) = -115,5 Máximo punto de pérdida = -115,5 x $2.673 = -$308.731
Distribución variable de apuesta 3. Límite Máximo = $10.000 Apuesta = x Frecuencia = f x.f (x)².f 10.000 1.0% 100.00 1.000.000 5.000 2.0% 100.00 500.000 500 5.0% 25.00 12.500 100 15.0% 15.00 1.500 50 32.0% 16.00 800 20 45.0% 11.25 281 SUMA 100% 267.25 1.515.081
Desviación estándar = Ö (Σ(x².f)- (Σ(x.f))²) = Ö (1.515.081- 267.25²) = 1202
Límite efectivo de apuesta = Bav(1 + ( Sb/Bav)²) = 267.( 1 + (1202/267)²) = 5.669 En este caso el cálculo se va a comportar como 0,047 N manos por $5.669 de apuesta promedio. W = ((7.425.0.0125-(1.645. Ö (7.425.0.97))).(1-13.75%)-(7.425.0.007%)) = -92.75 Máximo punto de pérdida = -92,75x $5.669 = -$522.540 Si bien los escenarios 1 y 2 entran dentro de la distribución de riesgo aceptable, la variación exagerada de apuestas en el escenario 3 no lo hace aceptable, pero debería ser considerado si rechazarlo significa no captar el segmento de mercado esperado con el limite de máximo $10.000. Por tanto, si se pudiera tener un alto nivel de confianza de que se va a lograr la distribución de apuestas estimadas, entonces no sería descabellado ofrecer un límite máximo de $7.000 en este casino, basándose en el riesgo que hemos manifestado como aceptable 1 de cada 20 veces, (las otras 19 siempre será menos malo). Ahora bien, si un jugador entrara en el casino y jugara al máximo mucho tiempo, la distribución de apuestas se vería alterada y la fluctuación podría ser devastadora para las estimaciones iniciales. Por tanto, sino queremos bajo ningún concepto correr riesgos adicionales, entonces nos convendría bajar el límite y trabajar con la estimación sobre el máximo de apuesta permanente, pero asumiendo que no estaríamos maximizando el turnover y por tanto el Win a largo plazo. Una vez determinado esto en cada juego a ofrecer en el casino, deberíamos establecer los mínimos en función de lo que socialmente sea correcto, culturalmente, lo que el mercado mande y lo que la gestión aconseje. En este caso hemos usado un juego de varianza muy baja, 0.97 y asumimos que las apuestas no se “cancelan”, es decir, no haya puestas al punto y a la banca simultáneas. En el caso de que las hubiera, el riesgo seria muchísimo menor ya que en esos casos el casino no puede perder, sólo ganar. De acuerdo a los ejemplos de arriba, se podría calcular el rango de Win bruto que el casino puede esperar en un periodo de tiempo finito, con un margen de confianza del 90%, 95% o 98%. Conclusión Toda la información contenida en este documento, está dirigida a ayudar al lector a entender cómo establecer los límites de apuesta máxima, basándose en criterios sólidos, sensatos y como el conocimiento del mercado y las estimaciones acertadas, pueden ser de mucho uso para explicar a los Accionistas, Gerentes o Presidentes, los riesgos medidos necesarios, para aumentar la productividad, el bottom line o la cuota de mercado. NOTA IMPORTANTE: TENGASE EN CUENTA QUE TODOS LOS CALCULOS HECHOS EN ESTE DOCUMENTO ESTAN CONSIDERADOS SOBRE LA TOTALIDAD DE APUESTA HECHA EN UNA MESA. PARA OBTENER EL MÁXIMO PERMITIDO POR CASILLA SIMPLEMENTE DIVIDIR EL MÁXIMO RESULTANTE POR LA OCUPACIÓN MEDIA ESPERADA POR JUEGO. LO QUE SE HA USADO EN ESTE DOCUMENTO ES EL MÁXIMO POR MESA POR DECISIÓN O LO QUE SE CONOCE COMO DIFERENCIAL DE MESA (Table differencial). Este artículo fue publicado en www.urbino.net y ha sido traducido con la autorización de su autor Andrew MacDonald. Andrew es ejecutivo de Mc Quarie Capital Advisors y propietario de urbino.net. Ha estado involucrado con la alta dirección de corporaciones de juego en Australia, Macao, Singapur y Malasia. 
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