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09/08/2009

ANÁLISIS MATEMÁTICOS

Caribbean Stud Poker

Artículo de 'ElDropBox'

por David Carrión, conceptos de Robert Riley - The Professor - y Michael Shackleford - The wizard of odds. 

A medida que pasan los años vemos muchos juegos nuevos que llegan a los casinos del mundo, tales como War, Let it ride, Pai Go, Sic Bo, etc, etc, pero muy pocos consiguen hacerse un sitio permanente entre la oferta tradicional. El Caribbean Stud Poker ha sido la adicción más exitosa a la oferta de juegos tradicionales de casinos de todo el mundo en los últimos 15 años. La oferta inicial la formaban el 21 o Blackjack, los Dados, el Punto y Banca y la Ruleta, pero poco a poco otros juegos fueron ganando terreno de entre los que destaca con nombre propio, el Póquer sin descarte, llamado Póquer caribeño en toda Suramérica o Caribbean Stud Poker en EEUU. A diferencia del póquer tradicional donde los jugadores compiten contra ellos mismos, en el póquer sin descarte todos los jugadores compiten contra el crupier.

Reglas

Se juega con un paquete de 52 cartas, del tipo francés, picas, tréboles, corazones y diamantes.

Para recibir cartas, el jugador realiza una apuesta inicial “ante” y una opcional al progresivo o “seguro” en la casilla destinada a tal efecto.

Cada jugador y el crupier reciben 5 cartas. Todas las cartas se reparten boca abajo excepto la última carta del crupier que se reparte descubierta. El jugador puede entonces ver sus cartas.  No se permite intercambiar información sobre las mismas con los demás jugadores.

Después de ver sus cartas, el jugador debe decidir si va o si se retira de la mano. Si se retira, entrega sus cartas boca abajo y pierde la apuesta del ante y el “seguro” si lo hubiera apostado. Si el jugador va, debe hacer una apuesta igual al doble del ante, “bet”.

El crupier enseña sus 5 cartas y señala la jugada obtenida.

El crupier debe tener un As y un Rey o mejor para calificar.

Si el crupier no califica, el jugador gana el Ante en razón de 1 a 1 y empata el bet. La apuesta del “seguro” pagará de acuerdo a la tabla de pagos correspondiente.

Si el crupier califica y su mano es superior a la del jugador, éste pierde ambas apuestas, ante y bet.

Si el crupier califica y pierde contra el jugador, el ante paga en razón de 1 a 1 y el bet de acuerdo a la tabla de pagos presentada más abajo.

Si el crupier y el jugador tienen la misma jugada, se resuelve por la carta más alta, si aún así hay empate, las apuestas de ante y bet empatan.

La jugada mejor se determina de acuerdo a la tabla de manos posibles que se presenta a continuación, de mejor a peor.

 

 

Análisis Matemático, retorno y ventaja de la casa

 

 

 

La tabla de pagos expuesta arriba es la más genérica encontrada en los Casinos españoles, la celda de abajo a la derecha muestra una ventaja de la casa del 5.26%. Este porcentaje es ligeramente superior al habitual 5,22% procedente de la tabla de pagos americana y del resto del mundo donde la escalera de color se paga 50 a 1. Ese simple cambio afecta a la ventaja de la casa en un 0.04%. Sin embargo, esta ventaja hace parecer al juego peor de lo que realmente es. El problema radica en las malas decisiones de los jugadores cuando no siguen una estrategia óptima de juego. La ventaja de la casa se define tradicionalmente como la pérdida esperada respecto de la apuesta realizada. En el póquer sin descarte, si utilizamos la estrategia óptima iremos con la apuesta del bet el 52.23% de las veces, para una apuesta media total de 2.045 unidades. Por tanto, el elemento de riesgo, (la pérdida esperada sobre la apuesta promedio) sería en este caso 5.26% / 2.045 =  2.572%.

Cálculos para determinar todas las posibles manos de Póquer

1. ¿Cuántas jugadas de Póquer se pueden hacer con 52 cartas? (Por motivos técnicos omitimos el símbolo C que va sobra las combinaciones. Los dos números a la izquierda de los signos = son el número total de elementos y el número de elementos en que se quieren combinar)

Lo primero que debemos analizar es cuántas manos de póquer se pueden hacer con un mazo de 52 cartas. Si cada mano se compone de 5 cartas, entonces es una combinación de 52 elementos en grupos de 5, o lo que es lo mismo:

52   5 = 2.598.960

La mayor parte de los jugadores de póquer, encuentran esta cifra difícil de creer. Muchos creen que un póquer de ases es una sola mano, pero no es lo mismo con un tres de tréboles que con un cuatro de corazones. Ambas tienen el mismo potencial ganador pero ambas son distintas.

2. ¿Cuántas escaleras de color se pueden hacer?

La escalera de color más pequeña empieza en el as y la más grande empieza en el diez, por lo tanto hay 10 escaleras de color en cada palo y por tanto 40 escaleras de color en total. De éstas, 4 son escaleras reales, del 10 al As.

3. ¿Cuántos Póquer?

En este caso puedo hacer la solución sencilla calculando solamente un póquer, por ejemplo el de ases, y luego multiplicar ese número por 13 que son las diferentes cartas por pinta o palo. Imaginemos que un hombre vende ases y tiene 4 y otro hombre vende el resto de las cartas y tiene 48, entonces a uno le compraré la combinación de sus 4 ases combinados en grupos de 4, y al otro le compraré cualquier carta de sus 48 combinada en grupos de 1 carta. Si aplicamos el principio fundamental de contar, que dice que si una cosa puede suceder de x maneras y otra cosa puede suceder de y maneras, entonces la posibilidad de que ambas sucedan juntas es de x.y (siempre y cuando ambos sean sucesos independientes).

Como los 4 ases no dependen de las demás cartas, entonces puedo aplicar que la cantidad de póquer de ases posibles es el resultado de multiplicar las combinaciones de 4 ases en grupos de 4 por las combinaciones de 48 cartas en grupos de 1:

(4  4) x (48 1) = (1) x (48) = 48

Multiplico 48 x 13 y obtengo 624 póqueres.

 

 

4. ¿Cuántos Full?

En este caso podemos empezar por la mejor mano posible. ¿Cuántos full puedo obtener de ases y reyes? Volvamos a la idea de antes, un hombre vende ases y tiene 4 y otro vende reyes y también tiene 4.

Voy a la tienda de ases y compro tres y voy a la tienda de reyes y compro dos. Como tengo los ases y los reyes y son independientes:

 (4 3) x (4 2) = 4x6 = 24

Por tanto hay 24 maneras de hacer full de ases y reyes. Si hay 13 tipos de cartas y en un full se usan dos de ellas al mismo tiempo, entonces podemos calcular cuantos tipos de full existen haciendo una permutación:

13 2 = 156

Así que si hay 156 tipos de full y cada uno puede salir de 24 maneras diferentes, entonces hay 3.744 full house posibles.

5. ¿Colores?

Consideremos sólo un color de Picas. Hay 13 cartas a combinar en grupos de 5. Por tanto 1.287 colores de picas. Si hay 4 palos, entonces habrá que multiplicar por cuatro y obtenemos 5.148 colores en total. Sin embargo esto no es correcto del todo ya que 40 de esas combinaciones son escaleras de color, por tanto hay 5.108 colores posibles.

6. ¿Escaleras?

Elijamos por ejemplo 10, j, q, k, a. En este caso utilizamos sólo el principio fundamental de contar, ya que es una pura y dura combinación de posibilidades. Cada carta de esa escalera puede salir de 4 maneras diferentes, por tanto el total de maneras de combinar cada carta de la escalera es 4x4x4x4x4 = 1.024 escaleras diferentes de ese tipo. Como sabemos que la escalera menor empieza en el As y la mayor en el 10, entonces hay diez tipos de escaleras posibles y 1.024 maneras de hacer cada uno por lo que podemos afirmar que hay 10.240 escaleras diferentes pero de esas 40 son de color por lo que finalmente decimos que hay 10.200 escaleras posibles.

7. ¿Trios?

Volvamos al ejemplo de la tienda para comprar un trío de ases. El señor vende ases en grupos de tres y 48 cartas restantes en grupos de 2: 

 (4 3) x (48 2) = 4x1.128 = 4.512

Si hay 13 tipos de cartas entonces tenemos 13 x 4.512 = 58.656 tríos posibles. Sin embargo, debemos darnos cuenta que en aquellos casos en los que las dos cartas sean una pareja, tendremos un full house y no un trío, por lo que debemos restar la cantidad de fulles al total de tríos y entonces podremos afirmar que hay 58.656 – 3.744 = 54.912 tríos posibles.

8. ¿Dobles Parejas?

Vamos a hacer el ejemplo con la más alta, Ases y Reyes.

En este caso, vamos a comprar tres tipos diferentes de cartas, por un lado ases al señor que vende 4 ases en grupos de 2, por otro lado Reyes al otro señor que los venda también en grupos de dos y finalmente una carta sola que no será ni un as ni un rey a otro señor que tiene 44 cartas para vender de una en una. Por tanto: 

 (4 2) x (4 2) x (44 1) = 6 x 6 x 44 = 1.584

Además, hay que tener en cuenta que Ases y Reyes es lo mimo que Reyes y Ases por lo que es una combinación en sí misma, por tanto de cada doble pareja hay: 

13 2 = 78

 Por ende, tenemos que en total hay 78 x 1.584 = 123.552 dobles parejas.

9. ¿De cuántas maneras se puede hacer una pareja?

Por un lado combinamos cuatro cartas en grupos de dos y por otro 48 cartas en grupos de tres:

 (4 2) x (48 3) = 6 x 17.693 = 103.776 

Por trece cartas en cada palo, el total de parejas es de 103.776 x 13 = 1.349.088 pero a esta cifra hay que descontarle los tríos que se formen con los grupo de tres cartas, lo que haría que la mano fuera un full house, por lo que hay que restar el total de full posibles, 1.349.088 – 3.744 = 1.345.344 y también debemos de quitar las manos en las que entre las dos cartas haya una pareja porque tendríamos dobles parejas. Como las dobles parejas son iguales de reyes y ases que de ases y reyes, debemos quitar las dobles parejas dos veces, por tanto tendremos que finalmente el número total de parejas posibles es de 1.345.344 – 2 x 123.522 = 1.098.240 parejas.

10. ¿Cuántas manos hay que no sean parejas?

Normalmente, no se conoce el total hasta que no se conocen las partes. Sin embargo, aquí sabíamos desde el principio que el número total de manos posibles es de 2.598.960 y por tanto si sumamos todas las manos que hemos ido calculando como manos con jugada y las restamos del total, obtendremos todas aquellas manos que no son jugada y son peores que una pareja. 2.598.960 – 1.296.420 = 1.302.540 manos peores que una pareja.

Probabilidades, ventaja de la casa y estrategias de juego

Dado que el póquer sin descarte es un juego que consiste en hacer una jugada con sólo cinco cartas y que éstas no se pueden cambiar, todo el razonamiento matemático del juego está basado en los cálculos realizados en la sección anterior. Veamos la probabilidad de que el Crupier califique. Para que el crupier califique, ha de tener una jugada sin parejas, con As y Rey como mínimo o cualquier jugada superior. Por tanto lo primero es contar la cantidad de manos que califican con As, Rey y ninguna pareja.

Para ello debemos tener un as, un rey y cualquier otras tres cartas que no produzcan una mano superior que As, Rey. Por tanto entre las tres cartas restantes no podemos tener una pareja, un trío, cualquier combinación de 10, J y Q, que haría una escalera o cualquier combinación de tres cartas que hiciera un color cuando el As y el Rey sean del mismo palo. Dividiremos el mazo en tres paquetes:

 

 

Número de formas de obtener una pareja = 11 x 6  x 40 = 2.640 maneras.

Número de formas de obtener trío = 11 x 4 = 44 maneras.

Maneras de obtener 10, J, Q = 4 x 4 x 4 = 64

Maneras de hacer color. Hay cuatro combinaciones de As y Rey de la misma pinta, y ya hemos usado el 10, J y Q en el cálculo de las escaleras, así que nos quedan 8 cartas sin usar para los colores.      

4 x (8 3) = 224

(44 3) = 13.244

2.640 + 44 + 64 + 224 = 2.972 por tanto 13.244 – 2.972 = 164.352 manos de As, Rey sin nada más. Esto quiere decir que hay 1.302.540 – 164.352 = 1.138.188 manos con las que el crupier no calificará.  

Por tanto podemos afirmar que el crupier tiene 1.138.188 manos con las que no calificará sobre un total de 2.598.960 manos totales o lo que es lo mismo, el crupier tiene una probabilidad de no calificar del 43,79% y de calificar del 56,21%. Ver tabla a continuación:

 

 

Hemos pedido ayuda a Michael Shackleford, el wizard of odds, quien nos ha permitido traducir su estrategia de juego y su análisis de la ventaja de la casa dependiendo de la estrategia utilizada. 

Sube siempre con una pareja o mejor. Tíralas con menos de As, Rey y sube con As, Rey cuando una de las tres situaciones estén presentes:

1. Sube si la carta del crupier está entre un 2 y una Q y es igual a alguna de las tuyas.

2. Sube si la carta del crupier es un As o Rey y tú tienes una J, o Q.

3. Sube si la carta del crupier no es igual a ninguna de las tuyas y tienes una Q y la carta del crupier no es más alta que tu cuarta carta más alta.

Ver tabla a continuación:

 

  

De todo lo explicado hasta este momento hay algo que destaca sobre manera. El resultado de jugar sin ver las cartas es devastador para el jugador y sin embargo, muchos casinos no permiten que un jugador apueste más de una casilla ciega. Más adelante, escribiremos sobre el Oasis Poker y los JackPot Progresivos y sus matemáticas para comentar variantes de juego que pueden ser atractivas dependiendo de la estrategia de juego. Generalmente en el póquer, la falta de disciplina del jugador suele arrojar un buen porcentaje de Hold, pero no es oro todo lo que reluce que diría Alberto Romeo.

Una gran parte de este análisis viene de fuentes normales de estadística, otra de Michael Shackleford, el Wizard, mi sufridor paciente a preguntas e emails. Es el creador y administrador de una página que os recomiendo visitéis en www.wizardofodds.com, no os arrepentiréis si habláis inglés. Si no es así, Michael me ha permitido traducir parte de sus análisis así que si solicitáis por mail el análisis matemático de algún juego que no tengamos en particular, lo traduciremos de Michael y lo subiremos aquí.

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