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por Andrew MacDonald, traducido por David Carrión

Es interesante la cantidad de teorías que abundan en la industria del Juego sobre cómo ajustar los límites de apuesta máxima. En una conferencia en el reciente Congreso Mundial del Juego en la feria G2E de las Vegas, un experto sabiamente afirmó, que en aquellos Casinos “bien gestionados”, los límites de apuesta máxima no sobrepasaban el criterio de “doblar cuatro veces consecutivas la apuesta mínima para casinos pequeños y siete veces para casinos grandes”. ¿Qué quiere decir esto? Que en una mesa de 5$ de mínimo no se debería permitir una apuesta mayor de 80$ (5$, 10$, 20$, 40$, 80$.) en un casino pequeño y 640$ en un casino grande. Para mostrar esto de una manera más matemática, si quisiéramos calcularlo para cualquier otro número la formula sería:

Máximo            =$.2ⁿ

Donde $           = apuesta mínima y,

          n            = el nª de veces a limitar el doblar la apuesta

Para    n           = 4 entonces el máximo = 16 * $

Para    n           = 7 entonces el máximo = 128 * $ 

Sin embargo esta hipótesis despierta ciertas preguntas. En primer lugar, ¿qué es lo que define a un casino como grande o pequeño? En segundo lugar, ¿significa esto que muchos casinos grandes como el Mgm o Mirage están mal gestionados ya que no siguen esta regla? En tercer lugar, ¿qué tienen que ver rangos de mínimo a máximo y apuestas dobladas consecutivamente con juegos donde la expectativa matemática es negativa? Y finalmente, ¿existe un principio de negocio  mas lógico, sensato y matemáticamente correcto en el que se pueda basar esta situación que a menudo es confusa y confundida?

Establezcamos primero algunos principios clave.

Los sistemas de gestión de apuestas son un montón de basura (según Mason Mallmuth). No existe ningún sistema de apuesta en los juegos de expectativa negativa que pueda, o de hecho cambie la ventaja de la casa. El Win teórico equivale a Turnover multiplicado por la ventaja (nótese que en esta bien conocida y aceptada fórmula, no se menciona ninguna disminución de la ventaja de la casa al aplicar algún factor corrector causado por “el sistema” de apuesta aplicado.)

En los juegos de sucesos independientes, los resultados no tienen ninguna relación dependiente los unos con los otros. El cilindro de ruleta, los dados o las monedas, no tienen memoria y los resultados no dependen de los anteriores. Secuencias de resultados consecutivos pueden ser un buen mapa para determinar dónde has estado, pero son inútiles para determinar a dónde vas. El resultado del próximo desenlace tiene la misma probabilidad de suceder que el anterior.

Con este segundo principio clave en mente, vamos a desmontar la teoría de nuestro experto de que deberíamos limitar las apuestas máximas a un número de dobladas de la apuesta mínima. Consideremos dos mesas contiguas en un casino pequeño. Una de mínimo 5$ y la otra de mínimo 25$, ambas jugando el mismo juego de sucesos independientes, sea Ra. En el primero tenemos un rango de apuesta de 5$ a 80$ y en el otro de 25$ a 400$. Nuestro intrépido jugador, en este “casino bien gestionado”, comienza su sistema de apuestas con 5$ en la mesa de limite bajo. La apuesta pierde y entonces dobla a 10$ y vuelve a perder. La apuesta se incrementa a 20$ y pierde. A 40$ y pierde otra vez. 80$ y nuevamente pierde de manera que el jugador ha sido condenado ya que en esta mesa el casino “se protege” y no se acepta la apuesta de 160$ que sería la adecuada según su sistema de juego. Pero entonces el jugador se cambia a la mesa de al lado y empieza con una apuesta de 160$. Pierde y luego apuesta 320$. La probabilidad de ganar o perder esa apuesta sigue siendo la misma que al principio ¿no? ¿Entonces cuál es la diferencia si termina su secuencia en la mesa 2 en vez de en la 1? La mesa 1 estaba “caliente” o en una “mala racha” dice el jugador, ¿y que? Ese mapa sólo muestra dónde has estado, no a dónde vas.

Entonces, ¿el pequeño y bien gestionado casino se convirtió de repente en uno grande y peor gestionado? o ¿debería alguien haberle prohibido a ese jugador continuar su secuencia, poniéndole un letrero en la frente que dijera: jugador de 5$ a 80$ solamente? Claramente ridículo y sin embargo a menudo discutido. “Los limites dan mucho margen”, “un sistemista se aprovechará del margen de apuesta”, “cuando empiezan a ganar y tienen nuestro dinero se vuelven peligrosos si se les da un límite más alto”, “un límite de 5$ a 5.000$ en Punto y Banca es ridículo”. La lista sigue y sigue y al final, la mayoría opta por las 16 o 128 veces el mínimo a la hora de establecer el máximo. Nótese también la enorme diferencia que existe entre 16 y 128 veces.

Suficiente de esto, ¿cómo se deberían ajustar apropiadamente los limites de apuesta?

Primero, deberemos determinar cuáles son las reservas de capital de la empresa, ¿cuál es la expectativa de la propiedad sobre la operación? ¿Son conservadores y por tanto reticentes a usar reservas de capital para pagar ganancias de jugadores o gastos fijos? ¿Cuáles son los periodos más corto y más largo que podemos comprometer? ¿Puede la propiedad planificar a un mes vista pero no mas allá de 1 año, o podemos diseñar estrategias a largo plazo con confianza? ¿Que tipos de volumen de Turnover se están experimentando o se han presupuestado? ¿Qué perfiles de juegos se ofrecen, o se espera ofrecer? ¿Cuáles son los gastos fijos y variables asociados con la operación? Se podrían preguntar muchas otras cosas, pero estas son las esenciales en este momento.

La seguridad y estabilidad del bottom line, se suele relacionar de manera intuitiva con el más bajo de dos límites de apuesta diferentes. Sin embargo, este es un negocio que depende del volumen y conducido por el mercado. Dado el caso puede ser más seguro ofrecer un máximo de $250.000 en comparación a uno de $50.000. ¿Por qué?, porque el mercado que estamos intentando atraer puede que no responda a $50.000, pero si se le ofrece $250.000 generaría suficiente turnover. Basándose en lo siguiente, podríamos determinar a qué punto eso sería verdad:

Como ejemplo consideremos el siguiente juego con flat bets, (apuestas siempre iguales):

Juego:                           Punto y Banca

Ventaja de la casa:         1.25%

Varianza:                         0.97

Gastos Variables:            0.7% del turnover (ejemplo indicativo)

Gastos fijos:                     $500.000 anuales (solo ejemplo)

Impuestos:                      13,75% del Win (ejemplo solamente)

Fees:                               13,5% después de impuestos y gastos (solamente ejemplo)

El porcentaje de retorno esperado de 1.25% está basado en una mezcla de apuestas entre Banca y Punto de 60% y 40%. Se asume que se juegan N número de manos de igual apuesta todas. La desviación estándar de una muestra es igual a la desviación estándar de la población (raíz cuadrada de la variación de la población) dividida por la raíz cuadrada del tamaño de la muestra. Por tanto, la raíz cuadrada del retorno esperado es: (aclaramos que para el resto del documento Ö = raíz cuadrada)

= Ö(97%)/ ÖN

= 98.5% / ÖN

El porcentaje esperado de retorno representa una variable aleatoria que se distribuye normalmente con la media 1.25 y desviación estándar 98.5/ ÖN. Entonces la cantidad Z, donde:

Z = (y-1.25)/ desviación estándar

Tiene aproximadamente la distribución normal estándar de probabilidades para que los valores de Z sean aproximadamente iguales a las áreas debajo de la curva estándar normal. Por tanto la probabilidad de que el retorno Y sea negativo, dicho de otra manera, que el jugador gane después de N manos de igual apuesta es:

Prob( Y < 0) = Prob ( Z < (0-1.25)/desviación estándar

= Prob ( Z < (0-1.25 ÖN / 98.5)

Por tanto, el final desfavorable del intervalo de probabilidad al 90%, se obtiene resolviendo el porcentaje de retorno Y donde –1.645 representa el valor aleatorio Z o número de desviaciones estándar que Y está a la izquierda de la media:

 (( y – 1.25) ÖN) / 98.5 = - 1.645

por tanto para N manos, el límite mínimo de confianza al 90% sería:

(N.E%)-(1.645. (ÖN.V)) 

Donde:

Manos = N                                                     House Advantage = E%

Varianza = V                                                

Límite de confianza al 90% = -1.645                  (95% = 1.96, 98% = 2.33) 

Antes de gastos e impuestos, se produce la siguiente tabla para la parte baja del 90% de confianza en el intervalo de probabilidad, (Probabilidad de que los resultados mostrados  ocurran 19 de cada 20 veces)

Número de Manos      Win                 90% límite de probabilidad               Win neto

       1000                12.5                          -38.7                               -40.4

       5500                68.8                          -51.4                               -82.8

      10500              131.3                         -30.0                              -106.4

      15500              193.8                          -7.9                               -115.4

      20500              256.3                          24.3                               -122.5

      25500              318.8                          60.1                               -126.7

      50500              631.3                          267.2                             -123.0

     100500            1256.3                        742.7                               -62.3

     150500            1881.3                        1252.8                               27.0

El punto máximo de pérdida ocurre a:

      34500              431.3                          130.4                              -129.1 

Para calcular el efecto de cualquier límite máximo de apuesta, simplemente requiere multiplicar el límite por los números de la tabla de arriba. Téngase en cuenta que los datos de pérdida son unidades de apuesta para una apuesta de igual cantidad. Por tanto, en el primer caso donde la pérdida es de –38.7 unidades para 1.000 manos, si el límite fuera de 2.500 $ se podría perder como máximo, a las 1.000 manos, 19 de cada 20 veces:

-38.7 x 2.500$ = -96.750$

Los gastos fijos y variables se pueden incluir a partir de ahí, para determinar el efecto de ese límite en el Win neto, ya que a menudo los costes para captar mercados VIPS son elevados en comisiones de player tracking, fees de junkets e impuestos sobre Win bruto. Por tanto, los costes se han de incluir en la ecuación para determinar el verdadero potencial de riesgo del límite a evaluar. El determinante sobre qué opción elegir, depende de lo conservador que se decida ser, de tener otras fuentes de ingresos paralelas (otros juegos, A&B, etc...) que soporten los periodos de fluctuación negativa, de las reservas de capital o disposición de efectivo, de la estrategia a largo plazo y del periodo de tiempo durante el que se espera mantener ese volumen de negocio. Casos extremos pueden calcularse alterando el % de confianza hasta el 95% (1 de cada 40 veces o peor) o el 98% (1 de cada 100 veces o peor)

Matemáticas

Manos = N                                                    House Advantage = E%

Varianza = V                                                 Impuestos = T%

Comisiones = C%                                          Gastos Fijos = F

Fees = M%                                                    Tamaño de la apuesta = B

Límite de confianza al 90% = -1.645         ( 95% = 1.96, 98% = 2.33)

Win = N.E%

 

Límite mínimo de confianza = (N.E%)-(1.645. (ÖN.V))

Win neto de impuestos y comisiones =  (((N.E%)-(1.645. (ÖN.V))).(1-T%)-(N.C%))

Beneficio Neto = (((N.E%)-(1.645. (ÖN.V))).(1-T%)-(N.C%))-F).(1-M%)

Partiendo del cálculo del punto de pérdida máximo, (Win neto) podemos calcular, basados la pérdida neta máxima después de todos los gastos, que la compañía está dispuesta a aceptar, la apuesta máxima que habría que ofrecer. De la primera tabla presentada más arriba (para el ejemplo específico que se muestra) tenemos un punto máximo de pérdida de –129.1 unidades. Si consideramos lo máximo que la compañía está dispuesta a perder como un número positivo, entonces:

(129.1.B + F).(1-M%) = Máxima pérdida, por tanto B = ((Máxima Pérdida/(1-M%))-F)/129.1

Una fórmula más generalizada para determinar la apuesta máxima es:

B = ((Máximo punto de pérdida/ (1-M%)) – F)/ (Máximo punto de pérdida antes de gastos fijos y fees)

Los gastos fijos, se determinarían en base a los costes anuales, prorrateados al periodo de tiempo requerido para alcanzar el número de manos, en el que se llegaría al punto máximo de pérdida. Si, como ejemplo, lo máximo que la compañía estuviera dispuesta a perder fueran $10.000.000  y los gastos fijos fueran $500.000, entonces la apuesta máxima calculada sería de $85.695. 

Es importante recordar que el punto máximo de pérdida representa una probabilidad de 1 a 20 para que esa u otra pérdida mayor suceda. Números más conservadores se arrojan al subir el nivel de confianza. Pero por supuesto, no todas las apuestas suceden al límite máximo y por tanto cierto juicio es necesario para determinar la apuesta promedio o hacer un forecast de la distribución de las apuestas. Si bien un límite de $100.000 puede equivaler a una apuesta promedio de $75.000, la varianza si el límite mínimo es muy bajo, puede ser muy alta y poco representativa. De todas maneras, en la mayoría de los casos es mejor mantener las cosas simples. Más adelante se profundizará más en este aspecto.

Este artículo fue publicado en www.urbino.net y ha sido traducido con la autorización de su Autor Andrew MacDonald. Andrew es ejecutivo de Mc Quarie Capital advisors y propietario de urbino.net. Ha estado involucrado con la alta dirección de corporaciones de juego en Australia, Macao, Singapur y Malasia.

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